直线平面空间(x,y plane)和标准参数化空间(normal parameterization)

基础数学 ALLEN ⋅ 于 2020-04-29 15:45:53 ⋅ 21 阅读

前言

最近想着写点东西,今天刚好也加了个分类:基础数学,要做算法数学是很重要的,所以有些数学类的内容就写在这块了。
本篇是关于两个空间的转换,是图像识别中寻找圆形物体的基础,接下来就是内容。

直线平面空间

我们知道平面几何学中,直线的表达式是很简单的:$y = kx +b$,这是基于横轴坐标 x, y 的表达式。这里我们使用另外两个参数来进行表示:$\theta ,\rho $。即

$$xcos\theta + ysin\theta = \rho $$

file
图1:直线标准参数化
基本的推导过程为:

$$y = kx + b \\ y = tan\left ( \frac{\pi }{2}-\pi+ \theta \right ) x + b \\ y = tan\left (- \frac{\pi }{2}+ \theta \right ) x + \frac{\rho }{sin\theta} \\ y = -atan\left ( \theta \right ) x + \frac{\rho }{sin\theta} \\ ysin\theta + xcos\theta =\rho $$

我们称以$\theta ,\rho $为变量的坐标为标准参数化(normal parameterization)坐标。

标准参数化坐标空间

引入了直线的标准参数化(normal parameterization)坐标,即

$$xcos\theta + ysin\theta = \rho $$

如果我们把$\theta$限制在$[0,\pi]$,那么该标准参数化所表示的直线是唯一的,也就说一一对应的。那么,在x,y平面的每条直线则唯一的对应于标准参数化坐标$\theta,\rho$平面的一个点,简单的说就是一条线对应于一个点。

对于$[0,\pi]$的范围是唯一的直线,可以这么理解,一条直线旋转180度后,就和原来的直线重合了。请留意,直线是没有方向的。

假设我们有点集${(x_{1},y_{1},...,x_{n},y_{n})}$,包含 n 个点,我们想找出一系列的直线,来满足这些点,也就是说,能连成一条直线的点(点数大于等于2,且满足要求全部的点)则说明已满足。
我们把这些在x,y平面上的点转换成$\theta ,\rho $平面上一条正弦曲线:

$$\rho = x_{1}cos\theta + y_{1}sin\theta$$

很容易的可以得出,对应于共线的点的正弦曲线是具有相同的交叉点的。这个点在$\theta ,\rho $平面,称为$(\theta_{0}, \rho_{0})$,定义了一条穿过所有共线点的直线。因此,检测共线的问题就转变为寻找具有公共交点的曲线集。
点-曲线转换(point-curve tranformation)的第二个性质描如下。
假设我们有在平面$\theta, \rho$上的点集${(\theta_{1}, \rho_{1}),...,(\theta_{k}, \rho_{k})}$,位于曲线

$$\rho = x_{0}cos\theta + y_{0}sin\theta$$

那么所有这些点在 x, y 平面上就是对应于交点为$(x_{0},y_{0})$的直线集合。

点转曲线性质

最后我们总结下点转曲线(point-curve tranformation)的所有性质。

  • 性质1:位于图像平面的一个点对应于参数平面的一条曲线
  • 性质2:参数平面的一个点对应于图像平面的一条直线
  • 性质3:位于图像平面同一条直线的点对应于具有共同交点(该交点就是该直线)的曲线
  • 性质4:位于参数平面同一条曲线的多个点对应于具有共同交点的多条直线

参考文献

use-of-the-hough-transformation-to-detect-lines-and-curves-in-pictures

追求梦想,做最好的自己

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