正交信号: 是复数信号, 但不复杂

翻译 ALLEN ⋅ 于 2019-07-28 15:01:41 ⋅ 最后回复由 ALLEN 2019-10-19 09:06:03 ⋅ 156 阅读

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介绍

正交信号是基于复数的概念,对于 DSP 新手来说,也许没有什么比这些数字和它们奇怪的 j 运算符、复数、虚数、实数和正交的术语更让人头疼的了。如果您对复数和 $j=\sqrt{-1}$ 运算符的物理含义有点不确定, 请不要感到难过,因为您有一个好伙伴。 为什么即便是 Karl Gauss,世界上最伟大的数学家, 也把 j-算子称为“阴影中的阴影”。在这里,我们将把一些光照射在阴影上,这样你就再也不用打电话给正交信号心理热线寻求帮助了。

正交信号处理在许多科学和工程领域都有应用,正交信号是描述现代数字通信系统处理和实现的必要条件。在本教程中,我们将回顾复数的基础知识,并熟悉如何使用它们来表示正交信号。接下来我们研究负频率的概念,因为这与正交信号代数符号有关,并学习说正交处理语言。此外,我们将使用三维时间和频域图来给正交信号一些物理意义。最后本教程简要介绍如何通过二次采样生成正交信号。

为什么要关心正交信号?

正交信号形式,也被称为复数信号, 在许多数字信号处理应用中使用,如:

  • 数字通信系统,
  • 雷达系统,
  • 无线电测向方案的到达处理时间差,
  • 相干脉冲测量系统,
  • 天线波束形成应用,
  • 单边带调制器,
  • 等等。

这些应用属于通常称为正交处理的范畴,它们通过对正弦信号相位的相干测量提供额外的处理能力。

正交信号是一种二维信号,其在某一时刻的值可以用一个包含两部分的复数来表示;我们称之为实部和虚部。( “真实的” 和 “虚构的” 这两个词虽然很传统,但由于它们在日常生活中的普遍含义,所以这两个词很不幸被用来表示复数。通信工程师使用的术语是同相(in-phase)和正交相位(quadrature phase),稍后会详细介绍。) 让我们回顾一下这些复数的数学符号。

复数的发展和表示

为了确立术语体系,我们定义实数为日常生活中使用的数字,像电压,华氏温标上的温度,或者你支票账户上的余额。这些一维数字可以是正的,也可以是负的,如图 Figure 1(a) 所示。在这张图中,我们展示了一个一维坐标轴,并且一个单精度实数可由该坐标轴的一个点来表示。 根据传统,我们称这个轴为实轴。
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图 1. 实数和复数的图形表示
图1(b) 中显示了一个复数 c,它也表示一个点。但是,复数并不局限于一维直线上,它可以位于二维平面上的任何位置。这个平面被称为复平面(一些数学家喜欢称之为阿干特图),它使我们能够用实部和虚部来表示复数。例如,在图1(b) 中,复数 c = 2.5 + j2 是复平面上的一个点,既不在实轴上,也不在虚轴上。我们通过沿着实轴向上 +2.5 个单位,沿着虚轴向上 +2 个单位来定位点 c。把这些实轴和虚轴想象成为地图上东西方向和南北方向。
我们将使用几何视角来帮助我们理解一些复数的算术。看一下图 2,我们可以使用直角三角形的三角学来定义表示复数 c 的几种不同方法。
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图 2 复数 c = a + jb 在复平面上的向量表示
在文献中,复数 c 有很多不同的表示方法,比如:
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方程式 (3) 和 (4) 提醒我们,复数 c 可由复平面上的具有幅值 M 和相对于正实轴的 φ 弧度方向的向量,如图 2 所示。记住 c 是复数,但是变量 a,b,M,和 φ 是实数。c 的幅值有时称为 c 的模,就是
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[小问题:哪部 1939 年的电影,被很多人认为是有史以来最伟大的电影,电影主角试图引用方程(5)?]
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好,回到正题(back to business)。相位角 φ ,即该参数,是比率file 的反正切(arctan) ,
or
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如果我们设置方程(3)等于方程(2),即 $Me^{j\varphi }=M\left [ cos(\varphi) + jsin(\varphi)\right ]$,我们可以用他的名字来命名,现在称为欧拉恒等式:
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持怀疑态度的读者现在应该会问:“为什么用以自然对数 e 为底,虚数为指数的奇怪表达式来表示复数是有效的?” 我们可以验证方程(7),就像世界上最伟大的无穷级数领域专家 Herr Leonard Euler(伦纳德欧拉) 一样,用 jφ 替换图 3最上一行 $e^z$ 级数展开定义中的 z。替换之后的结果显示在第二行。接下来我们计算 j 的高阶,得到图 3中第三行的级数。像欧拉这样数学水平很高的人(或者那些查阅数学参考书的人)会认识到第三行的交替项是余弦和正弦函数的级数展开定义。
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图 3 对 $e^z$,$cos(\varphi)$,$sin(\varphi)$使用级数展开的欧拉方程推导
图3 证明了方程 (7) 和 我们使用方程(3)极坐标形式:Me的复数表达式。如果在图3的最上一行用 -jφ 替换 z,你会得到稍微不同,当时非常有用的欧拉恒等式形式:
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方程的(7)和(8)极坐标形式对我们有利,因为:

  • 它简化了数学推导和数学分析,
    -- 把三角方程变成了简单的指数代数,
    -- 复数上的数学运算遵循与实数完全相同的规则。
  • 它使信号相加仅仅是复数相加(向量相加),
  • 这是最简洁的符号,
  • 它说明了数字通信系统是如何实现的,并在文献中进行了描述。

我会用到方程(7)和方程(8)来了解正交信号为何以及如何应用在数字通信应用。但首先,让我们深呼吸,进入'j' 运算符的模糊地带。
之前你已经看到了定义 $j=\sqrt{-1}$ 。换句话说,j 代表了一个数字,当它与自身相乘时结果是负数。好吧,这个定义对于新手来说有点困难,因为我们知道任意数乘以自身结果总是正数。

不幸的是,DSP 教科书经常定义符号 j ,然后不慌而迅速地接着用 j 操作符来分析正弦信号。而读者也马上就忘了这个问题:$j=\sqrt{-1}$ 真正的意思是什么?

$\sqrt{-1}$ 在数学领域出现已经有一段时间了,但是直到16世纪它被用来解三次方程时才受到重视。[1]、[2] 的数学家不情愿地接受了 1 的抽象概念,不需要对它形象化,因为它的数学性质与一般实数的算术是一致的。
正是由于欧拉(Euler)将复数等同于实正弦和实余弦,以及高斯(Guass)对复平面的精彩介绍,最终使欧洲数学家在18世纪接受了$\sqrt{-1}$的概念。欧拉超越了实数的范畴,证明了复数与众所周知的正弦和余弦实三角函数之间有着清晰一致的关系。正如爱因斯坦(Einstein)证明了质量和能量的等价性,欧拉证明了实正弦和实余弦对复数的等价性。正如现代物理学家不知道电子(electron)是什么,但他们知道它的性质;类似,我们不会担心 “j” 是什么,而是满足于理解它的行为。所以,对于我们来说, j 操作符意味逆时针旋转一个复数$90^o$。(在英国,逆时针意思是反向顺时针)。我们来看看为什么?

通过研究$j=\sqrt{-1}$运算符的数学特性,我们将熟悉虚数的复平面表示,如图4所示。
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图 4. 给实数 8 乘以 j 会发生什么
将实轴上的任意数乘以 j ,得到一个位于虚轴上的虚积。图4中的例子显示,如果 +8 由位于正实轴上的点表示,那么将 +8 乘以 j 得到一个虚数 +j8,它的位置已经逆时针旋转了 $90^o$(从+8开始),并将其放在正虚轴上。类似地,将 +j8 乘以 j 会导致另一个$90^o$旋转,使 -8 位于负实轴上,因为$j^2 = -1$。将 -8 乘以 j 会导致进一步的 90 度旋转,使 -j8 位于负虚轴上。无论何时用点表示的任何数乘以 j,结果都是逆时针旋转$90^o$。(相反,乘以 -j 会在复平面上顺时针旋转 $90^o$。)

如果我们令方程 7 中$\varphi =\frac{\pi }{2}$, 我们说
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记住这一点。如果你有一个复数,表示为复平面上的一点,这个复数乘以 j 或 $e^{\frac{\pi }{2}}$ 会产生一个新的复数,它是原复数在复平面上逆时针(CCW)旋转 $90^o$而得到的。别忘了这个,当你开始阅读正交处理系统的文献时,它会很有用。
让我们稍作停顿,喘口气。如果虚数和复平面的概念看起来有点神秘,不用担心。对每个人一开始都是这样的——使用它们的次数越多,就会觉得越舒服。(记住,j-运算符让欧洲重量级的数学家困惑了数百年。)诚然,不仅复数的数学一开始有点奇怪,而且术语也几乎是怪异的。尽管 “imaginary” 这个词用起来很不幸,而 “complex” 这个词却更加怪异。当我们第一次遇到 “complex numbers” 这个短语时,我们会想到“complicated numbers”。这令人遗憾的,因为复数的概念并没有那么复杂。你只需要知道,上述数学上的繁琐程序是为了验证方程 (2)、(3)、(7) 和 (8)。现在,让我们(最后!)谈谈时域信号。

用复数向量来表示真实信号

好了,我们现在把注意力转向一个复数,它是一个时间函数。考虑一个复数,它的幅值是 1,相位角随时间增长。该复数就是点 $e^{j2\pi f_{o}t}$,如图 5(a) 所示。(这里的$2\pi f_{o}$是以弧度/秒为单位的频率,它对应了用赫兹测量的频率 $f_{o}$。) 随着时间的增大,复数的相位角增加,并且复数沿着 CCW 方向绕复平面原点旋转。图5(a)显示了在任意时刻停止的数字,用黑点表示。如果频率$f_{o}=2hz$,那么这个点就会每秒绕圆旋转两次。我们还可以考虑另一个顺时针方向旋转的复数$e^{-j2\pi f_{o}t}$(白点),因为随着时间的增加,它的相位角会变得越来越负。
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图5 指数随时间变化的两个复数的时间快照
现在,我们称$e^{j2\pi f_{o}t}$和$e^{-j2\pi f_{o}t}$这两个复数信号为正交信号。 它们的每一个具有正交的实部和正交的虚部,并且它们都是时间的函数。$e^{j2\pi f_{o}t}$ and $e^{-j2\pi f_{o}t}$表达式在文献通常被称为复指数。

我们还可以把这两个正交信号$e^{j2\pi f_{o}t}$和$e^{-j2\pi f_{o}t}$看作是两个相量的箭头,它们向相反的方向旋转,如图 5(b)所示。 现在我们继续用相量符号,因为它能让我们达到在复平面上表示实正弦曲线的目的。别碰那个拨盘!

为了确保我们理解这些相量的行为,图 6(a)显示了$e^{j2\pi f_{o}t}$相量随时间推移的三维路径。我们已经添加了时间轴,从页面中出来,来显示相量的螺旋路径。图 6(b)显示了 $e^{j2\pi f_{o}t}$ 向量的连续版本。$e^{j2\pi f_{o}t}$这个复数,如果你想,也可以称为向量的箭头,沿着时间轴呈螺旋形旋转,并以时间轴为中心。$e^{j2\pi f_{o}t}$ 的实部和虚部是显示在图 6(b)的正弦和余弦投影。
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图 6 $e^{j2\pi f_{o}t}$向量的运动过程 (a),向量箭头形式运动 (b).
回到图5(b),然后问自己:“当这两个向量向相反方向旋转时,它们的矢量和是多少?” 想一下。。。没错,向量的实部总是正方向相加,而虚部总是会抵消。这意味着 $e^{j2\pi f_{o}t}$ 和 $e^{-j2\pi f_{o}t}$向量的和总是一个纯实数。现代数字通信系统的实现就是基于此属性的!

为了强调这两个复数正弦曲线实部和的重要性,我们再画一幅图。考虑三维图图7中,沿着相反方向旋转,并向下移动的两个半幅值复相量$e^{j2\pi f_{o}t/2}$ 和 $e^{-j2\pi f_{o}t/2}$,由它们之和产生的波形。
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图 7 两个旋转复数向量之和产生的余弦
想想这些向量,现在很清楚为什么余弦波等同于如下两个复指数之和
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方程 (10),是一个著名而重要的表达式,也被称为欧拉恒等式之一。 我们可以通过解 jsin(φ) 使方程(7)和方程(8)相等,并且在最终的方程求解 cos(φ),来推导出这个恒等式。类似地,我们可以做同样的代数运算证明一个实正弦波也是两个如下复指数的和
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仔细看下方程(10)和方程(11)。它们是余弦波和正弦波的标准表达式,使用复记号,在正交通信系统的文献中随处可见。为了避免读者的思路像复相位那样旋转变换,请读者知道图 5 到图 7的唯一目的是验证方程(10)和方程(11)的余弦波和正弦波的复表达式。这两个方程,再加上方程(7)和方程(8)是正交信号处理的罗塞塔石碑。
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我们现在可以很容易地,在实正弦和复指数之间来回转换。 同样,我们正在学习可以通过同轴电缆传输,也可以数字化并存储在计算机内存中的真实信号是怎样用复数符号来表述的。是的,复数的组成部分都是实数,不过我们用一种特殊方式来对这些组成部分进行处理:使用正交。

在频域表示正交信号

现在我们知道了正交信号时域性质的一些东西,接下来我们来看看它们的频域描述。这些频域描述很重要,因为我们在正规的二维频域图中增加第三维,也就是时间。这样正交信号的相位关系就不会被隐藏起来。图 8 告诉我们在频域表示复指数的规则。
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图 8 复指数的解释
我们将单个复指数表示为位于指数中指定频率的窄带脉冲。此外,我们还将展示这些复指数的谱沿着复频域表示的实轴和虚轴之间的相位关系。说了这么多,请看图 9。
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图 9 余弦波和正弦波的复频域表示
看看实余弦波和实正弦波在图9右侧的复频域表示是如何描述的。图 9右侧的粗体箭头不是旋转向量,而是频率域脉冲符号,该脉冲符号表示单一复指数$e^{j2\pi f_{o}t}$的单一频谱线。频谱脉冲所指向的方向仅仅表明了频谱成分的相对相位。这些频谱脉冲的幅值是 1/2。好吧......为什么我们要用这个三维频域表示?因为我们将使用它来理解在数字(和一些模拟)通信系统中正交信号的产生(调制)和检测(解调),这是本教程的两个目标。然而,在考虑这些过程之前,让我们用一个小例子来验证这个频域表示。
图 10 是我们如何使用复频域的一个简单例子。我们从一个实正弦波开始,然后对它应用 j 算子,然后和一个相同频率的实余弦波相加。 最终结果就是一个复指数 $e^{j2\pi f_{o}t}$,它以图形化的方式说明了我们在公式(7)中用数学方法表述的欧拉恒等式。
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图 10 欧拉恒等式的复频域视图:$e^{j2\pi f_{o}t} = cos(2\pi f_{o}t) + jsin(2\pi f_{o}t)$
在频率轴上,负频率的概念被认为是这些频谱脉冲位于$2\pi f_{o}$弧度/秒的频率轴上。这个图显示了巨大的含义:当我们使用复数记号,一般的复指数,如$e^{j2\pi ft}$和$e^{-j2\pi ft}$是实正弦函数$sin(2\pi ft)$和$cos(2\pi ft)$的基本组成部分。那是因为$sin(2\pi ft)$ 和 $cos(2\pi ft)$都是由$e^{j2\pi ft}$和$e^{-j2\pi ft}$组成的。如果你是对$sin(2\pi f_{o}t)$,$cos(2\pi f_{o}t)$或$e^{j2\pi f_{o}t}$复数正弦做离散傅里叶变换,并且画出复数结果,那么你会准确地得到这些图 10 中的窄带脉冲。

如果你理解图 10 中的记号和操作,那么你可以表扬下自己,因为你已经对正交信号的性质和数学知识有了大量的了解。

频域带通正交信号

在传统的正交处理中,频谱的实部称为同相(in-phase)分量,频谱的虚部称为正交分量。复频谱如图11(a), (b), 和 (c) 所示 的信号是实数,在时域内可以用具有非零实部和零值虚部的幅值来表示,我们不需要用复数记号来表示这些时域中的信号——它们是实数的。

实数信号通常具有正频谱成分和负频谱成分。对于任意实信号,同相(实部)频谱的正负频率分量总是关于 0-频率点偶对称的。也就是,同相频率的正负频率分量是它们彼此的镜像。

相反,正交(虚部)频谱的正负频率分量总是互为相反数。这意味着任意给定的正的正交频率分量的相位角是相应的正交的负频率分量的相位角的相反数,如图 11(a) 的细实线箭头。当实数信号的频谱使用复数符号表示时,这种“共轭对称”是它们的不变特性。
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图 11 信号的正交表达式: (a) 实正弦函数 $cos(2\pi f_{o}t + \phi )$, (b) 带通 B 上包含六个正弦函数的实带通信号;(c) 带通 B 赫兹包含无穷多个正弦函数的实带通信号; (d) 带宽为 B 赫兹的复数带通信号。
让我们再次提醒自己,图 11(a) 和 图11(b) 中的粗箭头不是旋转相位,它们是指示一个复指数$e^{j2 \pi ft}$的频域脉冲符号。这个脉冲所指的方向显示频谱分量的相对相位。

对于图 11(d) 只有正频率的频谱,这是复数值模拟时域带通信号的频谱。与实值时域信号不同,该信号不表现出以零赫兹为中心的频谱对称性,因为它没有负频谱能量。
在我们继续之前,有一个重要的原理要记住。时间信号乘以复指数$e^{j2\pi f_{o}t}$,我们称之为 正交混合(也称为复混合),把该时间信号的频谱在频率上向上移了$f_{o}$赫兹,如图 12(a) 和 图12(b)。同样的,时间信号乘以$e^{-j2\pi f_{o}t}$就是把该时间信号的频谱在频率上向下移了$f_{o}$赫兹。
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图 12 信号的正交混合:(a) 复数信号 x(t) 的频谱,(b) $x(t)e^{j2\pi f_{o}t}$的频谱,(c) $x(t)e^{-j2\pi f_{o}t}$的频谱

我们会在接下来的例子中使用这个原理。

正交采样的例子

我们可以使用现在已经学到关于正交信号的知识来探索正交采样的过程。正交采样是对连续(模拟)带通信号进行数字化,并将其频谱转换为以零赫兹为中心的过程。让我们通过考虑一个带宽为 B,以载波频率$f_{c}$为中心的连续带通信号,来看看这个流行的过程是如何工作的。
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图 13 正交采样后信号的“之前和之后的”频谱

我们正交采样的目标是获得一个模拟带通信号的数字化版本,但是我们想让数字化后信号的频谱以零赫兹为中心,而不是以$f_{c}$赫兹为中心。也就是,我们想用$e^{-j2\pi f_{c}t}$混合时间信号来执行复杂的下变频。频率$f_{s}$是以样本/秒为单位的数字化仪器采样率。我们在图 13 显示了频谱复本是为了提醒我们自己 A/D 转换发生时的效果。
OK, ... 请看下面的正交-采样方块图,如图 14 的最上面。对于通信理论有经验的人来说,它是众所周知的 I/Q 解调(或 “Weaver 解调”)。两个具有90度的相位差的正弦振荡器的排列,经常被称为正交振荡器。

在繁忙的图 14 中,$e^{j2\pi f_{c}t}$ 和 $e^{-j2\pi f_{c}t}$ 这些项提示我们,构成实余弦的复指数重复了$X_{bp}(f)$频谱的每一部分,来生成$X_{i}(f)$频谱。该图显示了如何得到我们所要复数正交信号的过滤后的连续同相部分。通过定义,这些$X_{i}(f)$和 I(f) 频谱被认为“仅为实数”。
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图 14 正交-采样方块图和同相(上)信号通路的频谱。
类似地,图 15 显示了我们如何通过对$x_{bp}(t)$混合$sin(2\pi f_{c}t)$得到复数正交信号的过滤后连续正交相位部分。
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图 15 方块图中的正交相位(下)信号通路的频谱
我们的目标是:I(f)–jQ(f) 是原始带通信号$x_{bp}(t)$ 复数副本的频谱。我们在图 16 显示了这两个频谱的。
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图 16 合并 I(f) 和 Q(f) 频谱得到所要的“'I(f)–jQ(f)” 频谱。
这种典型的正交-采样的描述看起来就像是一团乱码,直到你从一个三维的角度来看这个情况,如图17所示,在这里,-j 因子旋转"只有虚部“的Q(f) $-90^{o}$, 使它“只有实部”。然后把 –jQ(f) 加到 I(f)。
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图17 合并 I(f) 和 Q(f) 频谱获得的 I(f)–jQ(f) 频谱的3-D视图。

图 18 底部的复数频谱显示了我们想要的,就是以 0 Hz为中心的复数带通信号的数字化版本。
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图 18 连续复数信号 i(t)–q(t) 数字化后得到 i(n)–jq(n)
这个正交-采样机制的一些优势为:
• 每个 A/D 转换器以标准实信号采样的一半采样率进行操作;
• 在许多低时钟频率操作的硬件实现节省电力;
• 对于一给定的 fs 采样率,我们可以捕获宽-带模拟信号;
• 正交序列使 FFT 处理更高效,原因在于当 FFT 输入是一个实值序列时会覆盖一个更宽的频率范围;
• 因为正交序列是一个 2 倍因子的高效过采样,因此无需上采样就可以进行信号平方运算;
• 知道信号相位可以实现相干处理;
• 正交采样使精确测量在图14$x_{bp}(t)$的瞬时幅值(AM 解调),瞬时相位(相位解调),和瞬时频率(FM 解调)变得更容易
回到图14的方块图,该图提醒我们正交信号的一个重要特性。我们可以将模拟正交信号发送到远程位置。为了做到这一点,我们使用了两根同轴电缆,这两根同轴电缆传输的是实信号 i(t) 和 q(t)。(为了传输离散时域正交序列,我们需要两个多导体带状电缆,如图 19。)
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图 19 再次说明正交信号如何包含两个实部的

为了理解我们这里讨论的物理意义,让我们记住连续正交信号$x_{c}(t) = i(t) + jq(t)$不仅仅是一个数学抽象。我们可以在实验室里生成$x_{c}(t)$,然后把它传送到大厅下面的实验室。我们所需要的是两个正弦信号发生器,设置为相同的频率。(然而,我们必须以某种方式同步这两个硬件生成器,使它们的相对相位偏移固定在$90^{o}$)。接下来,我们将同轴电缆连接到发电机的输出连接器上,并运行这两条电缆,分别用“i(t)”表示余弦信号,用“q(t)”表示正弦波信号。
现在进行两个问题的重点测验。在另一个实验室,如果连续的 i(t) 和 q(t) 信号分别连接到示波器的水平和垂直输入通道上,我们会在示波器的屏幕上看到什么?(当然,要记住将范围的水平扫描控制设置为“外部”位置。)
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图 20 用示波器显示正交信号

那么,如果电缆贴错标签,两种信号不小心交换了,示波器会显示什么?

第一个问题的答案是,我们会在显示器上看到一个逆时针旋转的亮点。如果把电缆调换一下,我们会看到另一个圆,但这次它是顺时针旋转的。如果我们把信号发生器的$f_{o}$频率设为 1hz,这将是一个很好的演示。
这个示波器的例子帮助我们回答了一个重要的问题,“当我们处理正交信号时,j-运算符是如何在硬件上实现的?”答案是我们不能去 Radio Shack 去购买 j 操作符然后把它焊接到电路板上。j 操作符是由我们如何处理两个相对信号来实现的。我们必须对它们进行正交处理,使同相位 i(t) 信号代表东西方向值,而正交相位 q(t) 信号代表正交的南北方向值。(我所说的正交,是指南北方向与东西方向的夹角正好是90度。)所以在我们示波器的例子中,j 操作符仅仅是通过连接示波器来实现的。同相 i(t) 信号控制水平偏转,交相 q(t) 信号控制垂直偏转,结果是一个由示波器的点瞬时位置所表示的二维正交信号。

在大厅下面的实验室中,接收离散序列 i(n) 和 q(n) 的人员能够通过增加或减去 jq(n) 序列来控制最终复杂光谱的方向,如图21所示。
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图 21 使用 q(n) 符号来控制频谱方向
图21的顶部通路等价于原始的$x_{bp}(t)$乘以$e^{-j2\pi f_{c}t}$,底部通路等价于$x_{bp}(t)$乘以$e^{j2\pi f_{c}t}$。因此,图14顶部的正交振荡器的正交部分为负数$sin(2\pi f_{c}t)$,则合成的复数光谱将是图21这些频谱的(关于 0 Hz)翻转。

当我们考虑翻转复数频谱时,那么提醒我们自己存在两个简单的方法把x(n) = i(n) + jq(n) 序列的频谱幅值倒转。正如图 21 所示的,我们可以通过共轭得到一个具有倒幅值谱的序列 x'(n) = i(n) - jq(n)。第二个方法是将x(n) 的 i(n) 和 q(n) 样本值交换来产生一个新的序列 y(n) = q(n) + ji(n),其频谱幅值与 x(n) 的频谱幅值相反。(注意,当 x'(n) 和 y(n) 的频谱幅值相等时,它们的频谱相位是不等的。)

小结

这样就结束了我们的正交信号教程。我们了解到,使用复平面来可视化复数的数学描述使我们能够看到正交和真实信号之间的关系。我们了解了三维频域描述是如何帮助我们理解正交信号的产生、在频率中转换、组合和分离的。最后,我们回顾了一个二次采样的例子和求正交序列频谱的两种方法。

引用文献

[1] D. Struik, A Concise History of Mathematics, Dover Publications, NY, 1967.
[2] D. Bergamini, Mathematics, Life Science Library, Time Inc., New York, 1963.
[3] N. Boutin, "Complex Signals," RF Design, December 1989.
在方程(5)之后的小问题的答案是:绿野仙踪中的稻草人。

听说过这个小故事吗?

在柏林期间,Leonhard Euler 经常参与哲学辩论,特别是与 Voltaire 的辩论。不幸的是,欧拉的哲学能力是有限的,他经常犯错误以至于被娱乐。然而,当他回到俄罗斯时,他报了仇。叶卡捷琳娜大帝曾邀请法国著名哲学家狄德罗到她的宫廷,狄德罗曾试图使她的臣民皈依无神论,这让沙皇很是懊恼。她要求欧拉让他安静下来。一天在法庭上,这位没有数学知识的法国哲学家被告知,有人用数学证明了上帝的存在。他要求听一听。欧拉于是上前说道:“先生,$ a+b {n} {n}=x$,因此上帝存在;回答!”狄德罗不知道欧拉在说什么。然而,他确实听懂了随之而来的和不久之后返回法国的齐声大笑。
虽然这是一个可爱的故事,但严肃的数学历史学家并不相信。他们知道狄德罗确实有一些数学知识,他们只是无法想象欧拉会以那种方式胡闹。


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    ALLEN MOD 主攻数据挖掘,机器学习,数字信号处理,语音信号处理
    2019-10-18 19:34:42

    这篇今天终于结束了翻译,请大家看看是否还算妥当

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