Reduced-Delay IIR Filters

翻译 ALLEN ⋅ 于 2019-07-27 19:56:54 ⋅ 51 阅读

基于我对 Steve Maslen [1] 最近的一篇有趣博客中提出的概念理解,本博客给出了关于减少延迟(减少群延迟)IIR 过滤器的初步调查结果。

减少延迟 2 阶 IIR 滤波器的开发

Maslen 对减少延迟的二阶 IIR 滤波器的开发始于一个传统的原型滤波器$H_{Trad}$,如图 1(a) 所示。原型滤波器的第一个修改是从滤波器的延迟线中提取 b0 前馈系数路径,如图 1(b) 中的$H_{Mod}$ 滤波器所示。
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图1 等价的 2 阶 IIR 滤波器:(a)传统的原型滤波器,$H_{Trad}$;(b)修改过的滤波器,$H_{Mod}$

如附录 A 所示,图 1 中给出的两个滤波器 $H_{Trad}(z)$ 和 $H_{Mod}(z)$ 的 z 域传递函数是相同的。参考文献 [1] 修改的最后一步是将$H_{Mod}$ 的两个前馈系数向上移动到延迟线,以产生所需的减少延迟的二阶 IIR 滤波器 $H_{Red‑Del}$,如图2所示。
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图2 减少延迟 2 阶 IIR 滤波器
图2 的 $H_{Red‑Del}(z)$ 传递函数的推导在附录 B 中给出。

缩减延迟的2阶IIR滤波器的性能

文献 [1] 指出,相对于原型图1(a)的滤波器,图2滤波器会有一个缩小一个采样时间的群延迟。正如图2所示,该滤波器确实具有一个减少了的通带群延迟,但有趣的是,群延迟减少的量取决于原始原型滤波器的性质。

图3给四种传统原型低通2阶滤波器展示了这种行为:巴特沃斯滤波器、椭圆滤波器、切比雪夫I型滤波器和切比雪夫II型滤波器。

滤波器的截止频率为采样率的1/8,由下面其中之一的MATLAB命令来设计:

[b,a] = butter(2, 0.25);
[b,a] = ellip(2, 2, 30, .25);
[b,a] = cheby1(2, .5, .25);
[b,a] = cheby2(2, 30, .25);
图3 的第一列显示了原型传统 IIR 滤波器的 z 平面极点/零点位置,而第二列显示了图2 的降延迟滤波器的 z 平面极点/零点位置。
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图3 二阶低通原型滤波器和降延迟滤波器的性能。第一列是原型滤波器的 z 平面,第二列是降延迟滤波器的 z 平面。

因为原型到降延迟滤波器的转换过程修改了原型滤波器的前馈系数,请注意这个过程如何改变了降延迟滤波器 z 平面零点的位置,从而影响了阻带衰减。

在图3的第三列中,虚线和实线曲线分别显示了低通原型传统滤波器和图2降延迟滤波器的频率幅值响应。注意第三列中减少延迟滤波器的实线所表示的阻带衰减。

在图3的第四列,虚线和实线分别显示了传统低通原型滤波器和对应图2的降延迟滤波器的群时延图。第四列图上方的“Delta Grp Del”标签给出了在零 Hz(在样本中测量)条件下的降延迟滤波器的群延迟所减少的量。

我们应该从图3 中学到什么呢?

关于引文 [1] 的 IIR 滤波器群延迟降低过程产生了图2的滤波器,本博客的主要观点是:

• 图2 所示的降延迟滤波器通带中的群延迟减少量仅小于一个样本。

• 与原 IIR 滤波器相比,降低延迟滤波器的阻带衰减明显减弱。

• 群时延的减少量和阻带的衰减取决于原 IIR 滤波器的设计方法。

如果您对这个减少延迟的过滤器主题感兴趣,那么与本博客相关的 PDF文件将展示1、3 和 4 阶减少延迟 IIR 低通过滤器的性能。

参考文献

[1] Maslen, Steve, "Part 11. Using -ve Latency DSP to Cancel Unwanted Delays in Sampled-Data Filters/Controllers", Website: dsprelated.com, https://www.dsprelated.com/showarticle/1280.php
Appendix A: Proof of $H_{Mod}(z)$ = $H_{Trad}(z)$
Proving the equivalence of Figure 1's $H_{Trad}(z)$ and $H_{Mod}(z)$ transfer functions begins by expressing $H_{Mod}(z)$ as:
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Putting the two terms in Eq. (A-1) over a common denominator yields:
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Collecting the factors of z in Eq. (A-2) gives us:
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Canceling the appropriate positive and negative terms in Eq. (A-3) gives us $H_{Mod}(z)$'s transfer function that is equal to the traditional IIR filter's $H_{Trad}(z)$ given as:
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附录 B: $H_{Red-Del}(z)$ 传递函数的推导

图2的$H_{Red-Del}(z)$传递函数推导过程如下:
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将方程(B-1)中的两项放在一个公分母上,就得到结果:
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在公式(B-2)中收集 z的因子,得到我们想要的 2 阶 $H_{Red-Del}(z)$ z 域传递函数:
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原文地址:https://www.dsprelated.com/showarticle/1281.php...

译文地址:...

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