切比雪夫滤波器类型 II 的极点位置简单推导

前言

在使用模拟滤波器特性来设计数字滤波器时,会遇到巴特沃次、切比雪夫等模拟滤波器等。在教程中不会详细推导切比雪夫等模拟滤波器的极点分布。本篇就简单讲解下切比雪夫极点分布的推导。

切比雪夫模拟滤波器极点分布

首先,我们给出切比雪夫模拟滤波器的幅值平方响应:

$$\left | H\left ( \Omega \right ) \right |^{2}=\frac{1}{1+\epsilon ^{2}T_{N}^{2}\left ( \Omega / \Omega_{p} \right )} \left ( 1 \right )$$

用$S=j\Omega$进行替换:

$$\left | H\left ( \Omega \right ) \right |^{2}=\frac{1}{1+\epsilon ^{2}T_{N}^{2}\left ( S /j \Omega_{p} \right )} \left ( 2 \right )$$

记极点为:

$$s_{k}=\varphi _{k}+jw_{k}$$

由分母

$$1+\epsilon ^{2}T_{N}^{2}\left ( S /j \Omega_{p} \right )=0$$

$$\varphi _{k}=-\Omega_{p}sin\left ( \frac{2k-1}{N} \frac{\pi }{2} \right )sinh\left ( \frac{1}{N}sinh^{-1}\left ( \frac{1}{\epsilon } \right ) \right )$$$$w _{k}=\Omega_{p}cos\left ( \frac{2k-1}{N} \frac{\pi }{2} \right )cosh\left ( \frac{1}{N}sinh^{-1}\left ( \frac{1}{\epsilon } \right ) \right )$$

$$a=sinh\left ( \frac{1}{N} sinh^{-1}\left ( \frac{1}{\epsilon } \right ) \right )$$

$$b=cosh\left ( \frac{1}{N} sinh^{-1}\left ( \frac{1}{\epsilon } \right ) \right ){\color{Orange} }$$

,显然 b > a,并且有

$$\frac{\sigma _{k}^{2}}{\left (a\Omega_{p} \right )^{2}} + \frac{w _{k}^{2}}{\left (b\Omega_{p} \right )^{2}} = 1 $$

此式表明切比雪夫低通滤波器的幅值平方函数的 2N 个极点,分布在 s 平面的椭圆上,椭圆的长、短轴分别为
$b\Omega{p}$ 和 $a\Omega{p}$。
file

结论

基本推导就是这样,这里涉及的双曲余弦和双曲正弦相关的知识以后再详细补充

参考文献

[1] DIGITAL SIGNAL PROCESSING Principles, Algorithms, and Applications,John G. Proakis etc.
[2] 切比雪夫低通滤波器课件, 项基

追求梦想,做最好的自己